Упр.865 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 865. Найдите длину окружности, вписанной в сегмент, длина дуги которого равна m, а градусная мера равна 120°.

Подробный ответ

Длина дуги сегмента равна $$m$$, а её градусная мера $$120^\circ$$. Тогда для окружности, которой принадлежит эта дуга, имеем

$$m=\frac{2\pi R\cdot 120^\circ}{360^\circ}=\frac{2\pi R}{3}.$$

Отсюда

$$R=\frac{3m}{2\pi}.$$

Пусть $$O$$ — центр большой окружности, а $$D$$ и $$A$$ — концы хорды, стягивающей дугу $$120^\circ$$. Тогда

$$OA=OD=R,$$

а центральный угол

$$\angle AOD=120^\circ.$$

По рисунку окружность вписана в сегмент и касается хорды $$AD$$ в точке $$C$$, поэтому радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен хорде:

$$OC\perp AD.$$

В равнобедренном треугольнике $$AOD$$ высота $$OC$$, опущенная к основанию $$AD$$, является также медианой, значит

$$DC=\frac{1}{2}AD.$$

Найдём $$AD$$ через радиус $$R$$:

$$AD=2R\sin\frac{\angle AOD}{2}=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$DC=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра $$E$$ до хорды $$AD$$. По рисунку центр $$E$$ лежит на перпендикуляре к хорде, а окружность касается дуги и хорды, поэтому радиус вписанной окружности вдвое меньше отрезка $$DC$$:

$$r=\frac{1}{2}DC=\frac{R\sqrt{3}}{4}.$$

Подставим $$R=\frac{3m}{2\pi}$$:

$$r=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3m}{2\pi}=\frac{3\sqrt{3}\,m}{8\pi}.$$

Тогда длина окружности, вписанной в сегмент, равна

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{3\sqrt{3}\,m}{8\pi}=\frac{3\sqrt{3}\,m}{4}.$$