Упр.862 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 862. Расстояние между центрами двух кругов радиуса R равно R. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью этих крутов, и длину линии, ограничивающей эту фигуру.

Подробный ответ

Обозначим центры окружностей через $$A$$ и $$B$$, а точки их пересечения — через $$C$$ и $$D$$. По условию $$AC=BC=AD=BD=R$$, а также $$AB=R$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AC=BC=AB=R$$, то он равносторонний, значит

$$\angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^\circ.$$

Аналогично треугольник $$ABD$$ тоже равносторонний, поэтому

$$\angle BAD=60^\circ.$$

Тогда угол при центре $$A$$, соответствующий дуге $$CD$$, равен

$$\angle CAD=\angle BAC+\angle BAD=120^\circ.$$

Найдём площадь одного из двух одинаковых круговых сегментов, из которых состоит общая часть окружностей. Это площадь сектора $$ACD$$ минус площадь треугольника $$ACD$$:

$$S_{ACD}=S_{\text{сектора }ACD}-S_{\triangle ACD}.$$

Площадь сектора:

$$S_{\text{сектора }ACD}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{3}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle ACD}=\frac12 \cdot AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD=\frac12 \cdot R \cdot R \cdot \sin 120^\circ=\frac{R^2\sqrt3}{4}.$$

Следовательно,

$$S_{ACD}=\frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=\frac{R^2(4\pi-3\sqrt3)}{12}.$$

Так как общая часть состоит из двух таких равных сегментов, её площадь равна

$$S=2S_{ACD}=\frac{R^2(4\pi-3\sqrt3)}{6}.$$

Теперь найдём длину границы общей части. Она состоит из двух дуг $$CD$$, каждая из которых соответствует центральному углу $$120^\circ$$. Поэтому длина одной дуги:

$$l_{CD}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi R=\frac{2\pi R}{3}.$$

Тогда длина всей линии, ограничивающей фигуру:

$$P=2l_{CD}=\frac{4\pi R}{3}.$$