Упр.861 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Сторона квадрата равна $$2\sqrt{2}$$ см. Найдите длину дуги описанной окружности данного квадрата, концами которой являются две его соседние вершины.

В квадрате $$ABCD$$ диагонали пересекаются в центре описанной окружности $$O$$, поэтому $$\angle AOB=90^\circ$$. Сторона квадрата равна $$AB=2\sqrt{2}$$ см.

Найдём диагональ квадрата:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$$

Так как $$AB=BC=2\sqrt{2}$$, то

$$AC=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$$

Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

$$R=AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 4=2$$

Длина дуги, стягиваемой соседними вершинами квадрата, соответствует центральному углу $$90^\circ$$:

$$l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}$$

Подставим значения:

$$l=\frac{\pi\cdot 2\cdot 90^\circ}{180^\circ}=\pi$$

Ответ

$$\pi\text{ см}$$