Упр.861 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 861. Сторона квадрата равна 2v2 см. Найдите длину дуги описанной окружности данного квадрата, концами которой являются две его соседние вершины.

Подробный ответ

В квадрате $$ABCD$$ диагонали пересекаются в центре описанной окружности $$O$$, поэтому $$\angle AOB=90^\circ$$. Сторона квадрата равна $$AB=2\sqrt{2}$$ см.

Найдём диагональ квадрата:

$$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2} $$

Так как $$AB=BC=2\sqrt{2}$$, то

$$ AC=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4 $$

Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

$$ R=AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 4=2 $$

Длина дуги, стягиваемой соседними вершинами квадрата, соответствует центральному углу $$90^\circ$$:

$$ l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ} $$

Подставим значения:

$$ l=\frac{\pi\cdot 2\cdot 90^\circ}{180^\circ}=\pi $$