Упр.860 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

На катете $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ (угол $$C=90^\circ$$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой $$AB$$, если угол $$A=42^\circ$$, $$AC=8\ \text{см}$$.

Так как $$AC$$ — диаметр окружности, то её радиус равен

$$R=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$

Точка $$E$$ лежит на окружности, а точки $$A, E, B$$ лежат на одной прямой, поэтому угол $$\angle EAC$$ равен углу $$\angle A$$:

$$\angle EAC=42^\circ.$$

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$EC$$, в 2 раза больше вписанного:

$$\angle EOC=2\angle EAC=2\cdot 42^\circ=84^\circ.$$

Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle AOC=180^\circ.$$

Следовательно, центральный угол, соответствующий дуге $$AE$$, равен

$$\angle AOE=180^\circ-\angle EOC=180^\circ-84^\circ=96^\circ.$$

Длина дуги $$AE$$:

$$l_{AE}=\frac{2\pi R\cdot \angle AOE}{360^\circ} =\frac{2\pi\cdot 4\cdot 96^\circ}{360^\circ} =\frac{32\pi}{15}\text{ см}.$$

Ответ

$$\frac{32\pi}{15}\text{ см}$$