Упр.86 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 86. Диагональ параллелограмма равна d и образует с его сторонами углы альфа и бетта. Найдите стороны параллелограмма.

В параллелограмме $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ делит угол при вершине $$A$$ на два угла:

$$\angle A=\angle BAC+\angle DAC=\alpha+\beta.$$

Тогда смежный с ним угол

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

В треугольнике $$ABC$$ по теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{d}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{BC}{\sin \alpha}.$$

Отсюда

$$BC=\frac{d\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Так как в параллелограмме $$AD=BC$$, получаем

$$AD=\frac{d\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle D}=\frac{CD}{\sin \angle DAC}.$$

Подставим:

$$\frac{d}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{CD}{\sin \beta}.$$

Следовательно,

$$CD=\frac{d\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

В параллелограмме $$AB=CD$$, значит

$$AB=\frac{d\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ

$$AB=\frac{d\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)},\qquad AD=\frac{d\sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.$$