Упр.858 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двенадцатиугольника, если сторона полученного шестиугольника равна $$a$$.

Обозначим сторону полученного правильного шестиугольника через $$a.$$ Тогда его вершины являются серединами сторон правильного двенадцатиугольника.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, значит

$$R=a.$$

Сторона правильного двенадцатиугольника выражается через радиус описанной окружности по формуле

$$a_{12}=2R\sin\frac{180^\circ}{12}.$$

Подставим $$R=a$$:

$$a_{12}=2a\sin 15^\circ.$$

Найдём $$\sin 15^\circ$$:

$$\sin 15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

Удобнее воспользоваться эквивалентной формулой

$$\tan 15^\circ=2-\sqrt3,$$

и тогда для стороны двенадцатиугольника получаем

$$a_{12}=2R\tan 15^\circ=2a(2-\sqrt3).$$

Ответ

$$2a(2-\sqrt3)$$