Упр.857 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 857. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

Пусть $$R$$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и правильный шестиугольник.

Для правильного $$n$$-угольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, сторона равна

$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда для треугольника и шестиугольника получаем:

$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$

$$a_6=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2R\cdot\frac12=R.$$

Площадь правильного многоугольника можно найти по формуле

$$S=\frac12 rP,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$P$$ — периметр.

Найдём радиусы вписанных окружностей:

$$r_3=\frac{a_3}{2\tan\frac{180^\circ}{3}}=\frac{R\sqrt3}{2\sqrt3}=\frac{R}{2},$$

$$r_6=\frac{a_6}{2\tan\frac{180^\circ}{6}}=\frac{R}{2\tan 30^\circ}=\frac{R}{2\cdot\frac1{\sqrt3}}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$

Теперь найдём площади:

$$S_3=\frac12\cdot 3a_3\cdot r_3=\frac12\cdot 3\cdot R\sqrt3\cdot \frac{R}{2},$$

$$S_6=\frac12\cdot 6a_6\cdot r_6=\frac12\cdot 6\cdot R\cdot \frac{R\sqrt3}{2}.$$

Тогда отношение площадей равно

$$\frac{S_3}{S_6}=\frac{\frac12\cdot 3\cdot R\sqrt3\cdot \frac{R}{2}}{\frac12\cdot 6\cdot R\cdot \frac{R\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$1:2$$.