Упр.856 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 856. В окружность вписан квадрат со стороной 4 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Пусть сторона вписанного квадрата равна $$a_4=4\text{ см}.$$ Тогда диагональ квадрата равна диаметру окружности:

$$d=a_4\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Следовательно, радиус окружности

$$R=\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$$

Теперь найдём сторону правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. Для правильного треугольника

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Подставим $$R=2\sqrt{2}:$$

$$a=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{6}.$$

Площадь правильного треугольника:

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда

$$S=\frac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{24\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$6\sqrt{3}\text{ см}^2$$