Упр.855 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 855. Найдите площадь правильного n-угольника, если радиус вписанной в него окружности равен 6 см, а n равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

Площадь правильного $n$-угольника можно найти по формуле

$$S=n\cdot \frac{1}{2}ar,$$

где $a$ — сторона многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Сторону правильного $n$-угольника выразим через радиус вписанной окружности:

$$a=2r\tg\frac{180^\circ}{n}.$$

При $r=6$ см получаем:

1) $n=3$

$$a=2\cdot 6\cdot \tg 60^\circ=12\sqrt{3}.$$

Тогда

$$S=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{3}\cdot 6=108\sqrt{3}.$$

2) $n=4$

$$a=2\cdot 6\cdot \tg 45^\circ=12.$$

Тогда

$$S=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=144.$$

3) $n=6$

$$a=2\cdot 6\cdot \tg 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.$$

Тогда

$$S=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=72\sqrt{3}.$$

Ответ

1) $108\sqrt{3}$; 2) $144$; 3) $72\sqrt{3}$.