Упр.854 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Основания трапеции равны $$5\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$, а диагонали — $$9\text{ см}$$ и $$10\text{ см}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, $$AD=12$$ см, $$BC=5$$ см, $$AC=9$$ см, $$BD=10$$ см.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle BOC$$. У них:

$$\angle AOD=\angle BOC$$ — вертикальные,

$$\angle ADO=\angle BCO$$, так как $$AD \parallel BC$$.

Следовательно, $$\triangle AOD \sim \triangle BOC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{12}{5}.$$

Отсюда

$$AC=AO+OC=\frac{12}{5}OC+OC=\frac{17}{5}OC,$$

значит

$$OC=\frac{5}{17}AC=\frac{5}{17}\cdot 9=\frac{45}{17}.$$

Аналогично

$$BD=BO+OD=\frac{5}{12}DO+DO=\frac{17}{5}OB,$$

поэтому

$$OB=\frac{5}{17}BD=\frac{5}{17}\cdot 10=\frac{50}{17}.$$

Теперь найдём $$\sin \angle BOC$$. По теореме косинусов в треугольнике $$BOC$$:

$$\cos \angle BOC=\frac{BO^2+OC^2-BC^2}{2\cdot BO\cdot OC}$$

$$\cos \angle BOC= \frac{\left(\frac{50}{17}\right)^2+\left(\frac{45}{17}\right)^2-5^2}{2\cdot \frac{50}{17}\cdot \frac{45}{17}} = -\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\sin \angle BOC=\sqrt{1-\cos^2 \angle BOC} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\frac{4}{5}.$$

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin \angle BOC.$$

Подставим значения:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10\cdot \frac{4}{5}=36.$$

Ответ

$$36\ \text{см}^2$$