Упр.853 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 853. Основания трапеции равны 16 см и 44 см, а боковые стороны — 17 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции через $$BC=16$$ см и $$AD=44$$ см, боковые стороны: $$AB=17$$ см, $$CD=25$$ см.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$. Пусть высота трапеции равна $$h$$, а проекции боковых сторон на основание равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$x+y=AD-BC=44-16=28.$$

Из прямоугольных треугольников получаем:

$$AB^2=h^2+x^2,$$

$$CD^2=h^2+y^2.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$25^2-17^2=y^2-x^2=(y-x)(y+x).$$

Так как $$y+x=28$$, то

$$625-289=(y-x)\cdot 28,$$

$$336=28(y-x),$$

$$y-x=12.$$

Решаем систему

$$ \begin{cases} x+y=28,\\ y-x=12. \end{cases} $$

Отсюда

$$y=20,\quad x=8.$$

Теперь найдём высоту:

$$h^2=AB^2-x^2=17^2-8^2=289-64=225,$$

$$h=15.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{16+44}{2}\cdot 15=30\cdot 15=450.$$

Ответ

$$450\ \text{см}^2$$