Упр.852 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 852. Вычислите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 см, а диагонали — 11 см и 25 см.

Подробный ответ

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{25}{2}, \qquad BO=\frac{BD}{2}=\frac{11}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$\cos \angle AOB=\frac{AO^2+BO^2-AB^2}{2\cdot AO\cdot BO}.$$

Подставим значения:

$$ \cos \angle AOB= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2+\left(\frac{11}{2}\right)^2-15^2}{2\cdot \frac{25}{2}\cdot \frac{11}{2}} = \frac{\frac{625}{4}+\frac{121}{4}-225}{\frac{275}{2}} = \frac{186.5-225}{137.5} = -\frac{7}{25}. $$

Тогда

$$ \sin \angle AOB=\sqrt{1-\cos^2 \angle AOB} =\sqrt{1-\frac{49}{625}} =\sqrt{\frac{576}{625}} =\frac{24}{25}. $$

Площадь параллелограмма выражается через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin \angle AOB.$$

Следовательно,

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 11\cdot \frac{24}{25}=132. $$