Упр.851 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 851. Радиусы двух окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их центрами — 44 см. Найдите длину общей хорды данных окружностей.

Обозначим точки пересечения окружностей через $$E$$ и $$F$$, а центры окружностей — через $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AE=AF=17$$, $$BE=BF=39$$, $$AB=44$$. Общая хорда $$EF$$ перпендикулярна прямой центров, поэтому $$AB \perp EF$$.

Рассмотрим треугольник $$AEB$$. Его полупериметр равен

$$ p=\frac{AE+BE+AB}{2}=\frac{17+39+44}{2}=50. $$

По формуле Герона находим площадь:

$$ S_{AEB}=\sqrt{p(p-AE)(p-BE)(p-AB)} =\sqrt{50\cdot 33\cdot 11\cdot 6} =\sqrt{108900}=330. $$

Треугольники $$AEB$$ и $$AFB$$ равны по трём сторонам, значит

$$S_{AFB}=S_{AEB}=330.$$

Тогда площадь четырёхугольника $$AEBF$$ равна

$$ S_{AEBF}=S_{AEB}+S_{AFB}=330+330=660. $$

С другой стороны, в четырёхугольнике $$AEBF$$ диагональю является $$AB$$, а высотой к ней — $$EF$$, поэтому

$$ S_{AEBF}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot EF. $$

Отсюда

$$ EF=\frac{2S_{AEBF}}{AB}=\frac{2\cdot 660}{44}=\frac{1320}{44}=30. $$

Ответ

$$30\text{ см}$$