Упр.851 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- Радиусы двух окружностей равны $$17\ \text{см}$$ и $$39\ \text{см}$$, а расстояние между их центрами — $$44\ \text{см}$$. Найдите длину общей хорды данных окружностей.
Обозначим точки пересечения окружностей через $$E$$ и $$F$$, а центры окружностей — через $$A$$ и $$B$$. Тогда $$AE=AF=17$$, $$BE=BF=39$$, $$AB=44$$. Общая хорда $$EF$$ перпендикулярна прямой центров, поэтому $$AB \perp EF$$.
Рассмотрим треугольник $$AEB$$. Его полупериметр равен
$$p=\frac{AE+BE+AB}{2}=\frac{17+39+44}{2}=50.$$
По формуле Герона находим площадь:
$$S_{AEB}=\sqrt{p(p-AE)(p-BE)(p-AB)} =\sqrt{50\cdot 33\cdot 11\cdot 6} =\sqrt{108900}=330.$$
Треугольники $$AEB$$ и $$AFB$$ равны по трём сторонам, значит
$$S_{AFB}=S_{AEB}=330.$$
Тогда площадь четырёхугольника $$AEBF$$ равна
$$S_{AEBF}=S_{AEB}+S_{AFB}=330+330=660.$$
С другой стороны, в четырёхугольнике $$AEBF$$ диагональю является $$AB$$, а высотой к ней — $$EF$$, поэтому
$$S_{AEBF}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot EF.$$
Отсюда
$$EF=\frac{2S_{AEBF}}{AB}=\frac{2\cdot 660}{44}=\frac{1320}{44}=30.$$
Ответ
$$30\text{ см}$$
