Упр.850 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 850. Найдите наибольшую высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 4 см, 18 см и 15 см.

Подробный ответ

Найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{4+18+15}{2}=\frac{37}{2}.$$

Тогда

$$S=\sqrt{p(p-4)(p-18)(p-15)}=\sqrt{\frac{37}{2}\cdot\frac{29}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{75061}}{4}.$$

Наибольшая высота опущена к наименьшей стороне, то есть к стороне $$4$$ см. Поэтому

$$h_{\max}=\frac{2S}{4}=\frac{S}{2}=\frac{\sqrt{75061}}{8}\text{ см}.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{\sqrt{75061}}{4}}{\frac{37}{2}}=\frac{\sqrt{75061}}{74}\text{ см}.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{4\cdot 18\cdot 15}{4\cdot \frac{\sqrt{75061}}{4}}=\frac{1080}{\sqrt{75061}}\text{ см}.$$