Упр.85 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$BC=\alpha$$, $$\angle A=\alpha$$, $$\angle C=\gamma$$. Найдите стороны $$AB$$ и $$AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$BC=a$$, $$\angle A=\alpha$$, $$\angle C=\gamma$$.

Найдём третий угол:

$$\angle B=180^\circ-(\angle A+\angle C)=180^\circ-(\alpha+\gamma).$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Тогда

$$AB=\frac{BC\cdot \sin \angle C}{\sin \angle A}=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha},$$

$$AC=\frac{BC\cdot \sin \angle B}{\sin \angle A}=\frac{a\sin(\alpha+\gamma)}{\sin \alpha}.$$

Ответ

$$AB=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha},\qquad AC=\frac{a\sin(\alpha+\gamma)}{\sin \alpha}.$$