Упр.849 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 849. Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М. Найдите площадь треугольника АВМ, если АВ=4 см, угол BAD=60°.

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$BAD$$, то

$$\angle BAM=\angle DAM=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны, значит $$AD \parallel BC$$. Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$, поэтому $$BM \parallel AD$$.

Тогда

$$\angle BMA=\angle DAM=30^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABM$$ углы при основании равны:

$$\angle BAM=\angle BMA=30^\circ,$$

значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, и

$$BM=AB=4\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABM$$:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BM\cdot \sin\angle ABM.$$

Так как

$$\angle ABM=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ,$$

то

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 120^\circ.$$

Поскольку $$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем

$$S_{ABM}=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$4\sqrt{3}\text{ см}^2$$