Упр.848 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 848. Найдите биссектрису треугольника АВС, проведённую из вершины А, если угол BAC=альфа, AC=b, AB=c.

Обозначим искомую биссектрису через $$AD$$, где $$D \in BC$$. Тогда $$\angle BAD=\angle DAC=\frac{\alpha}{2}$$.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ двумя способами.

С одной стороны,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}bc\sin\alpha.$$

С другой стороны,

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD=\frac{1}{2}c\cdot AD\sin\frac{\alpha}{2},$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin\angle DAC=\frac{1}{2}b\cdot AD\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ состоит из треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$, то

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{1}{2}bc\sin\alpha=\frac{1}{2}c\cdot AD\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}b\cdot AD\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Упростим:

$$bc\sin\alpha=AD\left(b+c\right)\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Отсюда

$$AD=\frac{bc\sin\alpha}{(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Можно также записать, используя формулу $$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$:

$$AD=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$

Ответ

$$AD=\frac{bc\sin\alpha}{(b+c)\sin\frac{\alpha}{2}}$$