Упр.847 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Две стороны треугольника равны $$5\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$, а угол между ними — $$60^\circ$$. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=5$$ см, $$AC=8$$ см, $$\angle BAC=60^\circ$$.

Найдём сторону $$BC$$ по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle BAC$$

$$BC^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^\circ$$

$$BC^2=25+64-80\cdot \frac12=89-40=49$$

Следовательно, $$BC=7$$.

Теперь используем формулу радиуса описанной окружности:

$$R=\frac{a}{2\sin A}$$

Здесь сторона $$a=BC=7$$, а угол $$A=\angle BAC=60^\circ$$. Тогда

$$R=\frac{7}{2\sin 60^\circ}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}$$

Ответ

$$\frac{7\sqrt3}{3}\text{ см}$$