Упр.846 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 846. треугольнике АВС известно, что АС=6v3 см, угол АВС=60°. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника АВС и точки А и С.
Обозначим центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$ через $$E$$. Тогда $$AE$$ и $$CE$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$.
Из свойства биссектрисы получаем:
$$\angle EAC=\frac12\angle A,\qquad \angle ECA=\frac12\angle C.$$
Так как $$\angle ABC=60^\circ$$, то
$$\angle A+\angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Следовательно, в треугольнике $$AEC$$
$$\angle AEC=180^\circ-\frac12(\angle A+\angle C)=180^\circ-\frac12\cdot120^\circ=120^\circ.$$
Пусть искомый радиус окружности, проходящей через точки $$A$$, $$E$$ и $$C$$, равен $$R$$. Тогда
$$AE=CE=R,$$
а по условию $$AC=6\sqrt3$$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $$AEC$$:
$$AC^2=AE^2+CE^2-2\cdot AE\cdot CE\cos\angle AEC.$$
Подставим значения:
$$ (6\sqrt3)^2=R^2+R^2-2R^2\cos120^\circ $$
Так как $$\cos120^\circ=-\frac12$$, получаем:
$$ 108=2R^2-2R^2\left(-\frac12\right)=2R^2+R^2=3R^2. $$
Отсюда
$$R^2=36,\qquad R=6.$$
Ответ
$$6\text{ см}$$
