Упр.844 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Отрезок $$BD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, $$BD=a$$, угол $$A=45^\circ$$, угол $$C=75^\circ$$. Найдите отрезок $$AD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$ и применим теорему синусов:

$$\frac{AD}{\sin \angle ABD}=\frac{BD}{\sin \angle BAD}.$$

Так как $$BD=a$$, $$\angle ABD=30^\circ$$, $$\angle BAD=\angle A=45^\circ$$, получаем

$$AD=\frac{BD\cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{a\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ

$$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$