Упр.843 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 843. Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см и образует с этой стороной угол, равный 60°.
Обозначим через $$D$$ точку пересечения биссектрисы $$BD$$ со стороной $$AC$$. Тогда $$AD=3$$ см, $$CD=4$$ см, а $$\angle ADB=60^\circ$$.
Так как $$BD$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{4},$$
значит, $$AB=\frac{3}{4}BC$$.
Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:
$$ AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cos\angle ADB $$
$$ \left(\frac{3}{4}BC\right)^2=3^2+BD^2-2\cdot 3\cdot BD\cdot \cos 60^\circ $$
$$ \frac{9}{16}BC^2=9+BD^2-3BD. $$
Получаем первое уравнение:
$$BD^2-3BD+9-\frac{9}{16}BC^2=0.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Угол $$\angle BDC$$ смежный с углом $$\angle ADB$$, поэтому
$$\angle BDC=180^\circ-60^\circ=120^\circ,$$
и тогда $$\cos 120^\circ=-\frac12$$.
По теореме косинусов для треугольника $$BCD$$:
$$ BC^2=CD^2+BD^2-2\cdot CD\cdot BD\cos\angle BDC $$
$$ BC^2=4^2+BD^2-2\cdot 4\cdot BD\cdot\left(-\frac12\right) $$
$$ BC^2=16+BD^2+4BD. $$
То есть
$$BD^2+4BD+16-BC^2=0.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ \left(BD^2+4BD+16-BC^2\right)-\left(BD^2-3BD+9-\frac{9}{16}BC^2\right)=0, $$
$$ 7BD+7-\frac{7}{16}BC^2=0, $$
$$ BC^2=16BD+16. $$
Подставим это в уравнение $$BD^2+4BD+16-BC^2=0$$:
$$ BD^2+4BD+16-(16BD+16)=0, $$
$$ BD^2-12BD=0, $$
$$ BD(BD-12)=0. $$
Так как $$BD\neq 0$$, получаем
$$BD=12$$ см.
Ответ
$$12$$ см.
