Упр.843 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной $$3\ \text{см}$$ и $$4\ \text{см}$$ и образует с этой стороной угол, равный $$60^\circ$$.

Обозначим через $$D$$ точку пересечения биссектрисы $$BD$$ со стороной $$AC$$. Тогда $$AD=3$$ см, $$CD=4$$ см, а $$\angle ADB=60^\circ$$.

Так как $$BD$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{4},$$

значит, $$AB=\frac{3}{4}BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cos\angle ADB$$

$$\left(\frac{3}{4}BC\right)^2=3^2+BD^2-2\cdot 3\cdot BD\cdot \cos 60^\circ$$

$$\frac{9}{16}BC^2=9+BD^2-3BD.$$

Получаем первое уравнение:

$$BD^2-3BD+9-\frac{9}{16}BC^2=0.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Угол $$\angle BDC$$ смежный с углом $$\angle ADB$$, поэтому

$$\angle BDC=180^\circ-60^\circ=120^\circ,$$

и тогда $$\cos 120^\circ=-\frac12$$.

По теореме косинусов для треугольника $$BCD$$:

$$BC^2=CD^2+BD^2-2\cdot CD\cdot BD\cos\angle BDC$$

$$BC^2=4^2+BD^2-2\cdot 4\cdot BD\cdot\left(-\frac12\right)$$

$$BC^2=16+BD^2+4BD.$$

То есть

$$BD^2+4BD+16-BC^2=0.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\left(BD^2+4BD+16-BC^2\right)-\left(BD^2-3BD+9-\frac{9}{16}BC^2\right)=0,$$

$$7BD+7-\frac{7}{16}BC^2=0,$$

$$BC^2=16BD+16.$$

Подставим это в уравнение $$BD^2+4BD+16-BC^2=0$$:

$$BD^2+4BD+16-(16BD+16)=0,$$

$$BD^2-12BD=0,$$

$$BD(BD-12)=0.$$

Так как $$BD\neq 0$$, получаем

$$BD=12$$ см.

Ответ

$$12$$ см.