Упр.842 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 842. Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника так: $$AB=11$$ см, $$AC=12$$ см, $$BC=13$$ см. Требуется найти медиану $$AM$$, проведённую к большей стороне $$BC$$.

Построим точку $$D$$ так, чтобы $$D \in AM$$ и $$MD=AM$$. Тогда точка $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, а значит, четырёхугольник $$ABDC$$ является параллелограммом.

Найдём угол $$A$$ в треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$ \cos \angle A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} $$
$$ \cos \angle A=\frac{11^2+12^2-13^2}{2\cdot 11\cdot 12} =\frac{121+144-169}{264} =\frac{96}{264} =\frac{4}{11} $$

В параллелограмме $$ABDC$$ противоположные стороны равны, поэтому $$BD=AC=12$$, а соседние углы supplementary:

$$ \angle B=180^\circ-\angle A $$
$$ \cos \angle B=-\cos \angle A=-\frac{4}{11} $$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$ и снова применим теорему косинусов:

$$ AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cos \angle B $$
$$ AD^2=11^2+12^2-2\cdot 11\cdot 12\cdot\left(-\frac{4}{11}\right) $$
$$ AD^2=121+144+96=361 $$
$$ AD=19 $$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, то

$$ AM=\frac{1}{2}AD=\frac{19}{2}=9{,}5 $$