Упр.842 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- Стороны треугольника равны $$11\text{ см}$$, $$12\text{ см}$$ и $$13\text{ см}$$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.
Обозначим стороны треугольника так: $$AB=11$$ см, $$AC=12$$ см, $$BC=13$$ см. Требуется найти медиану $$AM$$, проведённую к большей стороне $$BC$$.
Построим точку $$D$$ так, чтобы $$D \in AM$$ и $$MD=AM$$. Тогда точка $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, а значит, четырёхугольник $$ABDC$$ является параллелограммом.
Найдём угол $$A$$ в треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:
$$\cos \angle A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$
$$\cos \angle A=\frac{11^2+12^2-13^2}{2\cdot 11\cdot 12} =\frac{121+144-169}{264} =\frac{96}{264} =\frac{4}{11}$$
В параллелограмме $$ABDC$$ противоположные стороны равны, поэтому $$BD=AC=12$$, а соседние углы supplementary:
$$\angle B=180^\circ-\angle A$$
$$\cos \angle B=-\cos \angle A=-\frac{4}{11}$$
Рассмотрим треугольник $$ABD$$ и снова применим теорему косинусов:
$$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cos \angle B$$
$$AD^2=11^2+12^2-2\cdot 11\cdot 12\cdot\left(-\frac{4}{11}\right)$$
$$AD^2=121+144+96=361$$
$$AD=19$$
Так как $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, то
$$AM=\frac{1}{2}AD=\frac{19}{2}=9{,}5$$
Ответ
$$9{,}5\text{ см}$$
