Упр.841 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 841. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D, BD=1 см, AD=5 см, угол ABC=120°. Найдите отрезок CD.
Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $$BC$$ и $$AC$$ через $$E$$ и $$F$$. Тогда по свойству касательных из одной точки:
$$BE=BD=1,$$
$$CF=CD?$$
Удобнее ввести обозначение $$CF=CE=x$$. Тогда
$$BC=BE+CE=1+x,$$
$$AC=AF+CF=5+x,$$
$$AB=AD+BD=5+1=6.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOD$$, где $$O$$ — центр вписанной окружности. Так как радиус перпендикулярен касательной, то $$\angle ODB=90^\circ$$. Поскольку $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, имеем
$$\angle OBD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$
Тогда
$$OD=BD\cdot \tan 60^\circ=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}.$$
Найдём площадь треугольника $$ABC$$ двумя способами.
С одной стороны, по формуле через две стороны и угол между ними:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin 120^\circ$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot (1+x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}(1+x)}{2}.$$
С другой стороны, через радиус вписанной окружности:
$$S_{ABC}=pr,$$
где
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{6+(1+x)+(5+x)}{2}=6+x,$$
а $$r=OD=\sqrt{3}.$$ Поэтому
$$S_{ABC}=\sqrt{3}(6+x).$$
Приравниваем выражения для площади:
$$\sqrt{3}(6+x)=\frac{3\sqrt{3}(1+x)}{2}$$
$$12+2x=3+3x$$
$$x=9.$$
Теперь в треугольнике $$BCD$$:
$$BC=1+x=10.$$
По теореме косинусов:
$$CD^2=BD^2+BC^2-2\cdot BD\cdot BC\cdot \cos \angle B$$
$$CD^2=1^2+10^2-2\cdot 1\cdot 10\cdot \cos 120^\circ$$
$$CD^2=1+100-20\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=111.$$
Следовательно,
$$CD=\sqrt{111}.$$
Ответ
$$\sqrt{111}\text{ см}$$
