Упр.840 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 840. Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны — 6 см и 5 см. Найдите косинусы углов трапеции.

Обозначим углы трапеции $$ABCD$$ через $$\angle A,\ \angle B,\ \angle C,\ \angle D$$. Так как основания трапеции параллельны, то смежные углы при боковых сторонах дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle B=180^\circ-\angle A,\qquad \angle C=180^\circ-\angle D.$$

Тогда

$$\cos \angle B=-\cos \angle A,\qquad \cos \angle C=-\cos \angle D.$$

Рассмотрим диагональ $$AC$$ в треугольниках $$ABC$$ и $$ACD$$. По теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos \angle B $$

$$ AC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cos \angle B =25+9+30\cos \angle A =34+30\cos \angle A. $$

Аналогично для треугольника $$ACD$$:

$$ AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos \angle D $$

$$ AC^2=7^2+6^2-2\cdot 7\cdot 6\cos \angle D =49+36-84\cos \angle D =85-84\cos \angle D. $$

Приравниваем полученные выражения:

$$34+30\cos \angle A=85-84\cos \angle D,$$

откуда

$$30\cos \angle A+84\cos \angle D=51. \tag{1}$$

Теперь рассмотрим диагональ $$BD$$. По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos \angle A $$

$$ BD^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cos \angle A =74-70\cos \angle A, $$

и

$$ BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos \angle C $$

$$ BD^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cos \angle C =45-36\cos \angle C. $$

Так как $$\cos \angle C=-\cos \angle D$$, получаем

$$BD^2=45+36\cos \angle D.$$

Приравниваем:

$$74-70\cos \angle A=45+36\cos \angle D,$$

то есть

$$70\cos \angle A+36\cos \angle D=29. \tag{2}$$

Решим систему уравнений (1) и (2):

$$ \begin{cases} 30\cos \angle A+84\cos \angle D=51,\\ 70\cos \angle A+36\cos \angle D=29. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$7$$, второе — на $$3$$:

$$ \begin{cases} 210\cos \angle A+588\cos \angle D=357,\\ 210\cos \angle A+108\cos \angle D=87. \end{cases} $$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$480\cos \angle D=270,$$

$$\cos \angle D=\frac{9}{16}.$$

Подставим в (2):

$$70\cos \angle A+36\cdot \frac{9}{16}=29,$$

$$70\cos \angle A+\frac{81}{4}=29,$$

$$70\cos \angle A=\frac{35}{4},$$

$$\cos \angle A=\frac{1}{8}.$$

Тогда

$$\cos \angle B=-\cos \angle A=-\frac{1}{8},$$

$$\cos \angle C=-\cos \angle D=-\frac{9}{16}.$$

Ответ

$$\cos \angle A=\frac{1}{8},\quad \cos \angle B=-\frac{1}{8},\quad \cos \angle C=-\frac{9}{16},\quad \cos \angle D=\frac{9}{16}.$$