Упр.839 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 839. В трапеции ABCD известно, что ВС||AD, AD=8 см, CD=4vЗ см. Окружность, проходящая через точки А, В и С, пересекает прямую AD и точке К, угол АКВ=60°. Найдите отрезок ВК.

Подробный ответ

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCK$$. Так как $$BC \parallel AD$$, а точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, то $$AK \parallel BC$$. Кроме того, точки $$A, B, C, K$$ лежат на одной окружности.

Следовательно, $$ABCK$$ — равнобокая трапеция, значит её диагонали равны:

$$AC=BK.$$

Найдём диагональ $$AC$$ из треугольника $$ACD$$. По теореме синусов:

$$\frac{CD}{\sin \angle A}=\frac{AD}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle D}.$$

Из равенства

$$\frac{CD}{\sin \angle A}=\frac{AD}{\sin \angle C}$$

получаем:

$$\sin \angle C=\frac{AD\cdot \sin \angle A}{CD}=\frac{8\cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{3}}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}=1.$$

Значит, $$\angle C=90^\circ$$.

Тогда в треугольнике $$ACD$$:

$$\angle D=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-60^\circ-90^\circ=30^\circ.$$

Теперь найдём $$AC$$:

$$AC=\frac{CD\cdot \sin \angle D}{\sin \angle A}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \frac12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4.$$

Так как $$AC=BK$$, то

$$BK=4\text{ см}.$$