Упр.838 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ известно, что $$AD=a$$, $$BD=d$$, $$BD\perp AD$$. Найдите диагональ $$AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$BD \perp AD$$, то он прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{a^2+d^2}.$$

Найдём косинус угла $$A$$:

$$\cos \angle A=\frac{AD}{AB}=\frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$BC=AD=a,$$

а соседние углы supplementary, поэтому

$$\angle B=180^\circ-\angle A,$$

следовательно,

$$\cos \angle B=-\cos \angle A=-\frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B.$$

Подставим найденные значения:

$$AC^2=(a^2+d^2)+a^2-2\cdot \sqrt{a^2+d^2}\cdot a \cdot \left(-\frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}}\right).$$

Тогда

$$AC^2=a^2+d^2+a^2+2a^2=4a^2+d^2.$$

Следовательно,

$$AC=\sqrt{4a^2+d^2}.$$

Ответ

$$\sqrt{4a^2+d^2}$$