Упр.837 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 837. Одна из сторон параллелограмма на 4 см больше другой, а его диагонали равны 12 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма.

Подробный ответ

Обозначим $$AB=x$$ см, тогда $$AD=x+4$$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $$CD=AB=x$$.

Рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$ADC$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A,$$
$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle D.$$

Так как $$\angle D=180^\circ-\angle A$$, то $$\cos \angle D=-\cos \angle A$$. Тогда

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A,$$
$$AC^2=AD^2+AB^2+2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A.$$

Сложим эти равенства:

$$BD^2+AC^2=2AB^2+2AD^2.$$

Подставим данные:

$$12^2+14^2=2x^2+2(x+4)^2,$$
$$144+196=2x^2+2(x^2+8x+16),$$
$$340=4x^2+16x+32,$$
$$4x^2+16x-308=0,$$
$$x^2+4x-77=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2+4\cdot 77=324,$$
$$x=\frac{-4\pm 18}{2}.$$