Упр.835 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Одна из сторон треугольника равна $$21\text{ см}$$, а две другие стороны относятся как $$3:8$$. Найдите неизвестные стороны треугольника, если угол между ними равен $$60^\circ$$.

Обозначим $$AC=3x$$, $$BC=8x$$. Тогда по теореме косинусов для треугольника $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos\angle ACB.$$

Подставим данные:

$$21^2=(3x)^2+(8x)^2-2\cdot 3x\cdot 8x\cdot \cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем:

$$441=9x^2+64x^2-2\cdot 3x\cdot 8x\cdot \frac12,$$

$$441=73x^2-24x^2,$$

$$441=49x^2.$$

Отсюда

$$x^2=9,\quad x=3.$$

Тогда

$$AC=3x=9\text{ см},$$

$$BC=8x=24\text{ см}.$$

Ответ

$$AC=9\text{ см},\ BC=24\text{ см}.$$