Упр.833 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В параллелограмме $$ABCD$$ $$AB=2\text{ см}$$, $$AD=4\text{ см}$$, угол $$BAD=60^\circ$$. Найдите косинус угла между прямыми $$AC$$ и $$BD$$.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$ равен $$\angle AOB$$.

Найдём диагонали параллелограмма.

Рассмотрим $$\triangle BAD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos\angle BAD$$

$$BD^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot \cos 60^\circ=4+16-16\cdot \frac12=12,$$

значит, $$BD=2\sqrt{3}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$CD=AB=2,$$ а смежный с $$\angle BAD$$ угол равен

$$\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Рассмотрим $$\triangle ADC$$:

$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC$$

$$AC^2=4^2+2^2-2\cdot 4\cdot 2\cdot \cos 120^\circ=16+4-16\cdot\left(-\frac12\right)=28,$$

следовательно, $$AC=2\sqrt{7}.$$

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=\frac12 AC=\sqrt{7}, \qquad BO=\frac12 BD=\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим $$\triangle AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB$$

$$2^2=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{3})^2-2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{3}\cos\angle AOB$$

$$4=7+3-2\sqrt{21}\cos\angle AOB,$$

$$2\sqrt{21}\cos\angle AOB=6,$$

$$\cos\angle AOB=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$