Упр.833 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 833. В параллелограмме ABCD АВ=2 см, AD=4 см, угол BAD=60°. Найдите косинус угла между прямыми АС и BD.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$ равен $$\angle AOB$$.
Найдём диагонали параллелограмма.
Рассмотрим $$\triangle BAD$$:
$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos\angle BAD$$
$$BD^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot \cos 60^\circ=4+16-16\cdot \frac12=12,$$
значит, $$BD=2\sqrt{3}.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$CD=AB=2,$$ а смежный с $$\angle BAD$$ угол равен
$$\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Рассмотрим $$\triangle ADC$$:
$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC$$
$$AC^2=4^2+2^2-2\cdot 4\cdot 2\cdot \cos 120^\circ=16+4-16\cdot\left(-\frac12\right)=28,$$
следовательно, $$AC=2\sqrt{7}.$$
Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то
$$AO=\frac12 AC=\sqrt{7}, \qquad BO=\frac12 BD=\sqrt{3}.$$
Теперь рассмотрим $$\triangle AOB$$:
$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB$$
$$2^2=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{3})^2-2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{3}\cos\angle AOB$$
$$4=7+3-2\sqrt{21}\cos\angle AOB,$$
$$2\sqrt{21}\cos\angle AOB=6,$$
$$\cos\angle AOB=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$$
Ответ
$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$
