Упр.832 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 832. Две стороны треугольника равны 4 см и 10 см, а синус угла между ними равен 4/5. Найдите третью сторону треугольника.

Подробный ответ

Обозначим угол между данными сторонами через $$\angle A$$. Тогда по условию

$$\sin \angle A=\frac{4}{5}, \quad AB=4\text{ см}, \quad AC=10\text{ см}.$$

Найдём косинус этого угла:

$$\cos \angle A=\pm\sqrt{1-\sin^2 \angle A}=\pm\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\pm\frac{3}{5}.$$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Подставим значения:

$$BC^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos \angle A$$

$$BC^2=16+100-80\cos \angle A.$$

Если $$\cos \angle A=\frac{3}{5},$$ то

$$BC^2=116-80\cdot \frac{3}{5}=116-48=68,$$