Упр.831 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс, радиус равен $$5$$, и которая проходит через точку $$M(1; 4)$$.

Подробный ответ

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(a;0)$$, так как он принадлежит оси абсцисс. Радиус окружности равен $$5$$, а точка $$M(1;4)$$ лежит на окружности.

Тогда по формуле расстояния между точками получаем:

$$OM^2=(1-a)^2+(4-0)^2=5^2.$$

Отсюда

$$(1-a)^2+16=25,$$

$$(1-a)^2=9,$$

$$1-a=\pm 3.$$

Следовательно,

$$a=-2 \quad \text{или} \quad a=4.$$

Значит, возможны два центра окружности: $$O_1(-2;0)$$ и $$O_2(4;0)$$.

Запишем уравнения окружностей по формуле $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$:

для центра $$(-2;0)$$:

$$(x+2)^2+y^2=25;$$