Упр.830 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 830. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а его площадь — 210 см^2. Найдите третью сторону треугольника.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ известны стороны $$AB=17$$ см и $$AC=28$$ см, а площадь равна $$S_{ABC}=210$$ см2.
По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin \angle A.$$
Тогда
$$210=\frac12 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \sin \angle A,$$
$$\sin \angle A=\frac{210\cdot 2}{17\cdot 28}=\frac{15}{17}.$$
Найдём косинус угла $$A$$:
$$\cos \angle A=\pm \sqrt{1-\sin^2 \angle A}=\pm \sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2}=\pm \frac{8}{17}.$$
Теперь применим теорему косинусов:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$
Подставим значения:
$$BC^2=17^2+28^2-2\cdot 17\cdot 28\cdot \cos \angle A,$$
$$BC^2=289+784-952\cos \angle A=1073-952\cos \angle A.$$
Если $$\cos \angle A=\frac{8}{17},$$ то
$$BC^2=1073-952\cdot \frac{8}{17}=1073-448=625,$$
$$BC=25.$$
Если $$\cos \angle A=-\frac{8}{17},$$ то
$$BC^2=1073+448=1521,$$
$$BC=39.$$
Следовательно, третья сторона треугольника может быть равна $$25$$ см или $$39$$ см.
Ответ
$$25\text{ см};\ 39\text{ см}.$$
