Упр.822 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 822. Диаметр основания конуса равен 16 см, а его образующая — 17 см. Найдите площадь поверхности и объём конуса.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. Тогда получаем прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$AD$$ — диаметр основания, $$AB$$ — радиус основания, $$AC$$ — образующая, $$BC$$ — высота конуса.

Найдём радиус основания:

$$AB=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 16=8.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Теперь найдём площадь полной поверхности конуса:

$$S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi\cdot 8^2=64\pi,$$

$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi\cdot 8\cdot 17=136\pi,$$

$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=64\pi+136\pi=200\pi.$$

Найдём объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot 64\pi \cdot 15=320\pi.$$