Упр.809 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 809. Два треугольника имеют по две соответственно равные стороны, а сумма углов треугольников между этими сторонами равна 180°. Докажите, что данные треугольники равновелики.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MNK$$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot AC\cdot \sin \angle A,$$

$$S_{MNK}=\frac{1}{2}\,MN\cdot NK\cdot \sin \angle N.$$

По условию $$AB=MN,$$ $$AC=NK,$$ а также $$\angle A+\angle N=180^\circ.$$ Тогда

$$\angle N=180^\circ-\angle A,$$

следовательно,

$$\sin \angle N=\sin(180^\circ-\angle A)=\sin \angle A.$$

Подставим это в формулу площади второго треугольника:

$$S_{MNK}=\frac{1}{2}\,MN\cdot NK\cdot \sin \angle N=\frac{1}{2}\,AB\cdot AC\cdot \sin \angle A=S_{ABC}.$$

Значит, данные треугольники равновелики.