Упр.807 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 807. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 11 см.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $$H$$ — точка пересечения диагоналей.

Тогда

$$AH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 16=8.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$

Так как $$H$$ — середина диагонали $$BD$$, то

$$BD=2BH=2\cdot 6=12.$$

Найдём площадь основания пирамиды — ромба:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96.$$

Теперь вычислим объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 11=352.$$