Упр.798 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 798. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 270 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Подробный ответ

Рассмотрим основание призмы $$\triangle DEF$$.

По теореме косинусов:

$$EF^2=DE^2+DF^2-2\cdot DE\cdot DF\cos\angle D$$
$$EF^2=8^2+12^2-2\cdot 8\cdot 12\cdot \cos 60^\circ$$
$$EF^2=64+144-192\cdot \frac12=112$$
$$EF=4\sqrt7$$

Тогда периметр основания:

$$P_{DEF}=DE+DF+EF=8+12+4\sqrt7=4(5+\sqrt7)$$

Площадь основания:

$$S_{DEF}=\frac12\cdot DE\cdot DF\cdot \sin\angle D$$
$$S_{DEF}=\frac12\cdot 8\cdot 12\cdot \sin 60^\circ=48\cdot \frac{\sqrt3}{2}=24\sqrt3$$

Так как призма прямая, её боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту $$AD$$:

$$S_{\text{бок}}=P_{DEF}\cdot AD=4(5+\sqrt7)\cdot 6=24(5+\sqrt7)$$

Полная поверхность призмы:

$$S_{\text{пов}}=S_{\text{бок}}+2S_{DEF}$$
$$S_{\text{пов}}=24(5+\sqrt7)+2\cdot 24\sqrt3=24(5+\sqrt7+2\sqrt3)$$

Объём призмы:

$$V=S_{DEF}\cdot AD=24\sqrt3\cdot 6=144\sqrt3$$