Упр.790 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 790. Две окружности касаются внешним образом в точке A, точки В и С — точки касания с этими окружностями их общей касательной. Докажите, что угол BAC — прямой.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры данных окружностей. Так как прямая $$BC$$ является общей касательной, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этой прямой:

$$O_1B \perp BC,\qquad O_2C \perp BC.$$

Следовательно, в треугольниках $$O_1BA$$ и $$O_2CA$$ имеем:

$$\angle O_1BA = 90^\circ — \angle ABC,$$

$$\angle O_2CA = 90^\circ — \angle ACB.$$

Так как окружности касаются внешним образом в точке $$A$$, то центры $$O_1, A, O_2$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Угол $$\angle BAC$$ выражается через два смежных с ним угла:

$$\angle BAC = 180^\circ — \angle ABC — \angle ACB.$$

С другой стороны, из прямоугольных треугольников получаем, что

$$\angle BAC = \angle ABC + \angle ACB.$$

Тогда

$$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ — \angle ABC — \angle ACB,$$

откуда