Упр.788 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 788. Найдите площадь ромба и радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 12 см и 16 см.

Площадь ромба найдём по формуле через диагонали:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96\text{ см}^2.$$

Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=\frac{1}{2}AC=8,\qquad BO=\frac{1}{2}BD=6.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$, так как диагонали ромба перпендикулярны:

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24.$$

Пусть $$OH$$ — расстояние от центра ромба до стороны, то есть радиус вписанной окружности. Тогда

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH,$$

откуда

$$OH=\frac{2S_{AOB}}{AB}=\frac{2\cdot 24}{10}=\frac{48}{10}=4{,}8\text{ см}.$$

Следовательно, радиус вписанной окружности ромба равен $$4{,}8\text{ см}.$$

Ответ

$$96\text{ см}^2;\ 4{,}8\text{ см}.$$