Упр.787 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 787. Точка М принадлежит углу АВС, но не принадлежит его сторонам. Постройте окружность, которая касается сторон угла и проходит через точку М.

Подробный ответ

Построим биссектрису угла $$ABC$$. Обозначим на ней произвольную точку $$E$$.

Из точки $$E$$ опустим перпендикуляр $$EH$$ на сторону $$BC$$. Тогда окружность с центром в $$E$$ и радиусом $$EH$$ касается стороны $$BC$$.

Проведём эту окружность. Она пересечёт луч $$BM$$ в точке $$F$$.

Через точку $$M$$ проведём прямую, параллельную $$EF$$. Эта прямая пересечёт луч $$BE$$ в точке $$O$$.

Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$OM$$.

Докажем, что построенная окружность касается обеих сторон угла и проходит через точку $$M$$.

Так как $$EF \parallel OM$$, а точка $$F$$ лежит на луче $$BM$$, то получаем равенство углов, а значит, точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ABC$$. Следовательно, расстояния от $$O$$ до сторон $$BA$$ и $$BC$$ равны.

Поскольку $$OM$$ — радиус построенной окружности, то точка $$M$$ принадлежит этой окружности. Кроме того, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит окружность касается сторон угла $$AB$$ и $$BC$$.

Таким образом, искомая окружность построена.