Упр.786 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 786. Даны две точки А и В и прямая l. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников АВС, где С — произвольная точка прямой l.

Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$AB$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CM$$ является медианой.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, для точки пересечения медиан $$C’$$ на медиане $$CM$$ выполняется

$$MC’=\frac{1}{3}CM.$$

Пусть точка $$C$$ пробегает прямую $$l$$. Тогда точка $$C’$$ получается из точки $$C$$ гомотетией с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=\frac{1}{3}$$.

Следовательно, геометрическое место точек $$C’$$ есть образ прямой $$l$$ при этой гомотетии, то есть прямая, параллельная $$l$$. При этом точка пересечения прямой $$AB$$ с прямой $$l$$ переходит в точку $$M$$, поэтому она не входит в искомое множество.

Ответ

Прямая, параллельная $$l$$, являющаяся её образом при гомотетии с центром в середине $$AB$$ и коэффициентом $$\frac{1}{3}$$; точка пересечения $$AB$$ и $$l$$ не входит.