Упр.785 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 785. Отрезок АВ — хорда данной окружности, точка С — произвольная точка этой окружности. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников АВС.

Обозначим через $$M$$ точку пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Из свойства точки пересечения медиан известно, что она делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому на медиане, проведённой из вершины $$C$$ к середине отрезка $$AB$$, точка $$M$$ лежит так, что

$$CM’=\frac{1}{3}CM,$$

где $$M’$$ — образ точки $$C$$ при гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$\frac13$$.

Так как точка $$C$$ пробегает всю данную окружность, то её образ $$C’$$ при гомотетии с центром $$M$$ и коэффициентом $$\frac13$$ также пробегает окружность, полученную из данной окружности этой гомотетией. Следовательно, геометрическое место точек $$M$$ — это окружность, являющаяся образом данной окружности при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом $$\frac13$$.

Ответ

Окружность, полученная из данной окружности гомотетией с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом $$\frac13$$.