Упр.784 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 784. Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник, стороны которого относятся как 2:1, так, чтобы две вершины большей стороны прямоугольника лежали на стороне АС треугольника, а две другие вершины — на сторонах АВ и ВС.

Подробный ответ

Пусть нужно построить прямоугольник с отношением сторон $$2:1$$, у которого большая сторона лежит на стороне $$AC$$, а две другие вершины находятся на сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

Построим произвольный прямоугольник $$DEGH$$ так, чтобы $$EG=2DE$$. Проведём через точку $$K$$, лежащую на пересечении прямой $$AG$$ и стороны $$BC$$, прямую, параллельную $$AC$$. Она пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$N$$.

Через точку $$K$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AC$$, и обозначим точку её пересечения с $$AC$$ через $$P$$. На отрезке $$PA$$ отложим отрезок $$PM=KN$$.

Тогда четырёхугольник $$MNKP$$ — прямоугольник: $$MN \parallel KP$$, так как обе прямые перпендикулярны $$AC$$, и $$NK \parallel MP$$, так как обе прямые параллельны $$AC$$. Кроме того, $$NK=PM$$ по построению, а значит, противоположные стороны равны и параллельны.

Поскольку $$NK$$ — большая сторона прямоугольника и $$NK:KP=2:1$$, полученный прямоугольник удовлетворяет условию задачи.