Упр.781 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Даны треугольник $$ABC$$ и произвольная точка $$M$$. Докажите, что точки, симметричные точке $$M$$ относительно середин сторон треугольника $$ABC$$, являются вершинами треугольника, равного данному.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и треугольник $$A_1B_1C_1$$, где точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда $$A_1B_1,\;B_1C_1,\;C_1A_1$$ — средние линии треугольника $$ABC$$, поэтому

$$A_1B_1 \parallel AC,\quad B_1C_1 \parallel AB,\quad C_1A_1 \parallel BC,$$
$$A_1B_1=\frac{AC}{2},\quad B_1C_1=\frac{AB}{2},\quad C_1A_1=\frac{BC}{2}.$$

Следовательно, $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$$, и коэффициент подобия равен

$$k_1=\frac{A_1B_1}{AC}=\frac{B_1C_1}{AB}=\frac{C_1A_1}{BC}=\frac12.$$

Теперь рассмотрим точки $$A’,\;B’,\;C’$$, симметричные точке $$M$$ относительно середин сторон треугольника, то есть

$$A_1M=A_1A’,\quad B_1M=B_1B’,\quad C_1M=C_1C’.$$

Тогда точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ являются серединами отрезков $$AA’,\;BB’,\;CC’$$ соответственно. Значит, в треугольнике $$A’B’C’$$ отрезки $$A_1B_1,\;B_1C_1,\;C_1A_1$$ тоже являются средними линиями, поэтому

$$A_1B_1 \parallel A’C’,\quad B_1C_1 \parallel A’B’,\quad C_1A_1 \parallel B’C’,$$
$$A_1B_1=\frac{A’C’}{2},\quad B_1C_1=\frac{A’B’}{2},\quad C_1A_1=\frac{B’C’}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{A’C’}{AC}=\frac{2A_1B_1}{AC}=1,\quad \frac{A’B’}{AB}=\frac{2B_1C_1}{AB}=1,\quad \frac{B’C’}{BC}=\frac{2C_1A_1}{BC}=1.$$

Следовательно, соответствующие стороны треугольников $$A’B’C’$$ и $$ABC$$ равны, значит, эти треугольники равны.

Итак, точки, симметричные точке $$M$$ относительно середин сторон треугольника $$ABC$$, являются вершинами треугольника, равного данному.