Упр.780 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 780. Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам.

Подробный ответ

Обозначим центры большей и меньшей окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$ соответственно, а точку касания — через $$A$$. Пусть хорда большей окружности проходит через точку $$A$$ и пересекает меньшую окружность в точке $$M$$.

Так как окружности касаются внутренним образом, то центры $$O_1$$, $$O_2$$ и точка касания $$A$$ лежат на одной прямой, причём $$A$$ принадлежит обеим окружностям. По условию меньшая окружность проходит через центр большей, значит $$O_1 \in \omega_2$$, где $$\omega_2$$ — меньшая окружность.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$, переводящую большую окружность в меньшую. Коэффициент этой гомотетии равен

$$k=\frac{AO_2}{AO_1}.$$

Так как меньшая окружность проходит через центр большей, то радиус меньшей окружности равен половине радиуса большей, следовательно

$$AO_2=\frac{1}{2}AO_1,$$

значит

$$k=\frac{1}{2}.$$

При этой гомотетии точка $$A$$ остаётся неподвижной, а любая точка $$B$$ большей окружности переходит в точку $$M$$ меньшей окружности, лежащую на прямой $$AB$$. Тогда

$$AM=\frac{1}{2}AB.$$

Следовательно,

$$BM=AB-AM=\frac{1}{2}AB,$$

то есть

$$AM=BM.$$

Значит, точка $$M$$ — середина хорды $$AB$$. Следовательно, меньшая окружность делит любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, пополам.