Упр.779 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 779. Точка А принадлежит окружности (рис. 245). Найдите геометрическое место точек, являющихся серединами хорд данной окружности, одним из концов которых является точка А.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка данной окружности, отличная от $$A$$. Тогда середина хорды $$AX$$ обозначим через $$X’$$.

По определению середины отрезка точка $$X’$$ лежит на отрезке $$AX$$ и

$$AX’=\frac{1}{2}AX.$$

Значит, каждой точке $$X$$ окружности соответствует точка $$X’$$, полученная при гомотетии с центром в $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac{1}{2}$$.

При такой гомотетии данная окружность переходит в окружность, лежащую внутри неё. Точка $$A$$ при этом остаётся неподвижной, но она не является серединой хорды, поэтому её нужно исключить.

Следовательно, геометрическое место середин всех хорд, одним из концов которых является точка $$A$$, — это окружность, являющаяся образом данной окружности при гомотетии с центром $$A$$ и коэффициентом $$\frac{1}{2}$$, без точки $$A$$.