Упр.778 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках $$A_1, A_2, B_1, B_2$$ (рис. 244). Докажите, что $$A_1B_1 \parallel A_2B_2$$.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке касания $$M$$. При этой гомотетии одна окружность переходит в другую, а коэффициент гомотетии равен

$$k=-\frac{R}{r},$$

где $$r$$ и $$R$$ — радиусы меньшей и большей окружностей.

Так как через точку $$M$$ проведены две прямые, то точки $$A_1$$ и $$A_2$$ лежат на одной прямой с $$M$$, а точки $$B_1$$ и $$B_2$$ — на другой. Следовательно, при указанной гомотетии

$$A_1 \to A_2,\qquad B_1 \to B_2.$$

Гомотетия переводит прямую $$A_1B_1$$ в прямую $$A_2B_2$$. При этом образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной прямой. Значит,

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Что и требовалось доказать.