Упр.777 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках $$A_1$$, $$A_2$$, $$B_1$$, $$B_2$$ (рис. 243). Докажите, что $$A_1B_1 \parallel A_2B_2$$.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке касания $$M$$, при которой меньшая окружность переходит в большую. Коэффициент этой гомотетии равен

$$k=\frac{R}{r},$$

где $$R$$ и $$r$$ — радиусы большей и меньшей окружностей.

Так как прямые проходят через центр гомотетии $$M$$, то точки пересечения этих прямых с окружностями переходят друг в друга:

$$A_1 \to A_2,\qquad B_1 \to B_2.$$

Следовательно, отрезок $$A_1B_1$$ при этой гомотетии переходит в отрезок $$A_2B_2$$. А при гомотетии образ любой прямой, не проходящей через центр, параллелен исходной прямой. Значит,

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Что и требовалось доказать.