Упр.777 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 777. Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках A1, A2, B1, B2 (рис. 243). Докажите, что A1B1||A2B2.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке касания $$M$$, при которой меньшая окружность переходит в большую. Коэффициент этой гомотетии равен

$$k=\frac{R}{r},$$

где $$R$$ и $$r$$ — радиусы большей и меньшей окружностей.

Так как прямые проходят через центр гомотетии $$M$$, то точки пересечения этих прямых с окружностями переходят друг в друга:

$$A_1 \to A_2,\qquad B_1 \to B_2.$$

Следовательно, отрезок $$A_1B_1$$ при этой гомотетии переходит в отрезок $$A_2B_2$$. А при гомотетии образ любой прямой, не проходящей через центр, параллелен исходной прямой. Значит,

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Что и требовалось доказать.