Упр.776 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 776. Найдите образ окружности (x+2)^2+(y-4)^2=4 при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом: 1) k=1/2; 2) k=-2.

Подробный ответ

Дана окружность $$\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=4.$$

Её центр $$O_1(-2;4)$$, радиус $$R=2.$$

При гомотетии с центром в начале координат $$O(0;0)$$ и коэффициентом $$k$$ центр окружности переходит в точку $$O_1′(kx_1;ky_1),$$ а радиус умножается на $$|k|$$.

1) $$k=\frac{1}{2}$$

Тогда

$$O_1’\left(-2\cdot \frac{1}{2};\,4\cdot \frac{1}{2}\right)=(-1;2),$$

$$R’=2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

Следовательно, образ окружности имеет уравнение

$$\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1.$$

2) $$k=-2$$

Тогда

$$O_1’\left(-2\cdot (-2);\,4\cdot (-2)\right)=(4;-8),$$

$$R’=2\cdot 2=4.$$

Следовательно, образ окружности имеет уравнение

$$\left(x-4\right)^2+\left(y+8\right)^2=16.$$