Упр.773 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 773. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если ВС:AD=3:5, а площадь треугольника AED равна 175 см^2.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$BEC$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то

$$\angle DAE = \angle CBE,$$

а угол $$E$$ у них общий. Значит, $$\triangle AED \sim \triangle BEC$$ по двум углам.

Из подобия следует, что коэффициент подобия равен

$$k=\frac{BC}{AD}=\frac{3}{5}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BEC}}{S_{AED}}=k^2=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.$$

Следовательно,

$$S_{BEC}=\frac{9}{25}\cdot 175=63\ \text{см}^2.$$

Площадь трапеции равна разности площадей треугольника $$AED$$ и треугольника $$BEC$$:

$$S_{ABCD}=S_{AED}-S_{BEC}=175-63=112\ \text{см}^2.$$