Упр.772 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Прямая, параллельная стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$, пересекает его сторону $$AB$$ в точке $$M$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$K$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$BM=4\ \text{см}$$, $$AC=8\ \text{см}$$, $$AM=MK$$, а площадь треугольника $$MBK$$ равна $$5\ \text{см}^2$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$MBK$$. Так как $$MK \parallel AC$$, то

$$\angle CAB=\angle KMB,$$

а угол $$B$$ — общий. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle MBK$$.

Пусть коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда

$$k=\frac{AC}{MK}=\frac{AB}{BM}.$$

По условию $$BM=4$$ см, $$AC=8$$ см, а $$AM=MK$$, значит

$$AB=AM+BM=MK+4.$$

Тогда

$$\frac{8}{MK}=\frac{MK+4}{4}.$$

Получаем:

$$32=MK^2+4MK,$$

$$MK^2+4MK-32=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2+4\cdot 32=144,$$

$$MK=\frac{-4+12}{2}=4.$$

Следовательно,

$$k=\frac{AC}{MK}=\frac{8}{4}=2.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$S_{ABC}=k^2S_{MBK}=2^2\cdot 5=20.$$

Ответ

$$20\ \text{см}^2$$